Interaktive simuleringskomponenter

Hvad de kan, hvordan de virker, og hvad de ikke kan

07. mar. 2026

En teknisk gennemgang af de fem interaktive finanskomponenter på sitet — renters rente, rebalanceringsvisualisering, Monte Carlo-simulator, optimal rebalanceringsfrekvens og rebalanceringsgevinst-simulator — med forklaring af indstillinger, beregningsmodeller og begrænsninger.

Flere af artiklerne på dette site bruger interaktive simuleringskomponenter, der lader dig eksperimentere med parametre og se resultater i realtid.

Denne artikel er en samlet gennemgang af disse fem komponenter:

Renters rente — deterministisk vækstmodel
Rebalanceringsvisualisering — én stokastisk simulation med fire strategier
Monte Carlo-simulator — hundredvis af parallelle simuleringer med statistik
Optimal rebalanceringsfrekvens — sammenligning af seks frekvenser under beskatning
Rebalanceringsgevinst-simulator — isolerer den rene rebalanceringsgevinst med to identiske aktiver

For hver komponent beskrives: hvad den viser, hvilke indstillinger den har, hvad matematikken bag er, og hvad den ikke kan fortælle dig.

1. Renters rente

Hvad den viser

Dette er den enkleste af de tre komponenter. Den viser en deterministisk (altså ikke-tilfældig) vækstbane for en investering over tid.

Der er to kurver:

Porteføljeværdi — hvad du har, år for år
Indskudt kapital — den vandrette linje, der viser dit startbeløb

Forskellen imellem dem er det akkumulerede afkast — den klassiske illustration af renters rente-effekten.

Indstillinger

Indstilling	Standard	Interval
Startkapital	100.000 kr.	10.000 – 1.000.000 kr.
Årligt afkast	7 %	1 – 20 %
Antal år	30	5 – 50

Matematikken bag

Beregningen er simpel eksponentiel vækst:

$V(t) = K \cdot (1 + r)^t$

Hvor $K$ er startkapitalen, $r$ er det årlige afkast og $t$ er antal år.

I koden bruges rekursion år for år, men resultatet er identisk:

V(0) = K
V(t) = V(t−1) · (1 + r)

Begrænsninger

Ingen volatilitet. Afkastet er konstant hvert år. Virkeligheden svinger — op og ned.
Ingen inflation. Alle beløb er i nominelle kroner, ikke reale.
Ingen skat. Renters rente-effekten ser flottere ud end den gør i praksis, fordi skat ikke trækkes løbende.
Ingen bidrag eller hævninger. Kun ét startindskud og ingen løbende ind- eller udbetalinger.

Komponenten er nyttig til at illustrere princippet om eksponentiel vækst — men ikke til at forudsige hvad din portefølje faktisk vil være værd.

2. Rebalanceringsvisualisering

Hvad den viser

Denne komponent kører én enkelt stokastisk simulation og viser fire kurver på samme graf:

Aktier (100 %) — en ren aktieportefølje
Obligationer (100 %) — en ren obligationsportefølje
Rebalanceret — før skat — en blandet portefølje der løbende genindbringes til målallokationen, uden skattefradrag
Rebalanceret — efter skat — samme strategi, men med et skattehensyn på realiserede gevinster ved rebalancering

Det centrale her er at alle fire kurver bruger identiske tilfældige markedsbevægelser. Forskellen skyldes udelukkende porteføljestrategien — ikke tilfældighederne.

Knappen “Ny simulation ↻” genererer et nyt sæt tilfældige markedsbevægelser.

Indstillinger

Indstillingerne er opdelt i tre grupper:

Markedsscenarie

Indstilling	Standard	Hvad det er
Aktieafkast	7 %	Forventet gennemsnitligt årligt afkast for aktier
Aktievolatilitet	18 %	Standardafvigelse på aktiers årlige afkast
Obligationsafkast	3 %	Forventet gennemsnitligt årligt afkast for obligationer
Obligationsvolatilitet	6 %	Standardafvigelse på obligationers årlige afkast
Korrelation	0	Pearson-korrelation mellem aktiers og obligationers chok
År	20	Simuleringshorisont i år

Porteføljeopsætning

Indstilling	Standard	Hvad det er
Aktieandel	60/40	Målvægt for aktier (obligationer fylder resten)
Skattesats	27 %	Skattesats på realiserede gevinster ved rebalancering

Rebalanceringsindstillinger

Indstilling	Standard	Hvad det er
Frekvens	Hvert år	Kalenderbaseret trigger: hvert 1.–10. år, eller aldrig
Afvigelsesgrænse	Ingen	Rebalancér kun hvis aktieandelen har driftet mere end X pp fra målet

Når frekvens sættes til Aldrig, skjules kurven for rebalancering efter skat (da der ikke rebalanceres).

Når afvigelsesgrænsen sættes til fx ±5 pp, rebalanceres der kun ved den kalenderbaserede trigger og når driften overstiger 5 procentpoint.

Matematikken bag

Geometrisk brownsk bevægelse (GBM)

Afkastene for hvert år trækkes som log-normale faktorer baseret på geometrisk brownsk bevægelse:

$S(t+1) = S(t) \cdot \exp\!\bigl((\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2) + \sigma Z\bigr), \quad Z \sim \mathcal{N}(0,1)$

Denne model er standard i finansteori (Black-Scholes) og har to vigtige egenskaber:

Priser kan ikke blive negative
Det geometriske gennemsnitsafkast er korrekt, selv om hvert års afkast varierer

Leddet $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2$ er en Itô-korrektion: den sikrer at det geometriske afkast matcher den ønskede parameter $\mu$ , og ikke det aritmetiske.

Box-Muller-transformation

De standard-normale tal $Z$ genereres ved Box-Muller-transformationen fra to uniformt fordelte tal $u_1$ og $u_2$ :

$Z = \sqrt{-2\ln u_1} \cdot \cos(2\pi u_2)$

Korrelation via Cholesky-dekomposition

Når korrelationsparameteren $\rho$ er forskellig fra nul, skabes korrelerede chok via Cholesky-dekomposition af $2\times2$ -korrelationsmatricen:

$z_\text{aktier} = z_1, \qquad z_\text{obl.} = \rho \cdot z_1 + \sqrt{1-\rho^2} \cdot z_2$

Dette giver præcis $\operatorname{Corr}(z_\text{aktier},\, z_\text{obl.}) = \rho$ .

En negativ korrelation (fx −0,3) modellerer den klassiske flight-to-safety-effekt, hvor obligationer stiger når aktier falder.

Skatteberegning ved rebalancering

Når en aktivklasse sælges for at bringe porteføljen tilbage til målallokationen, beregnes skatten på den realiserede gevinst:

Solgt andel           = salgsstørrelse ÷ nuværende markedsværdi
Skattepligtig gevinst = (markedsværdi − kostpris) × solgt andel
Skattebetaling        = skattepligtig gevinst × skattesats  (kun hvis positiv)

Kostprisen opdateres proportionalt med den solgte andel.

Begrænsninger

Én simulation ad gangen. En enkelt kurve kan se meget anderledes ud end en anden — klik “Ny simulation” for at se spredningen.
To aktivklasser kun. Modellen understøtter kun aktier og obligationer. Ejendomme, råvarer, valuta mv. er ikke med.
Konstante parametre. Afkast og volatilitet antages at være konstante over hele perioden. I virkeligheden ændrer markedsregimet sig.
Fuld rebalancering til målet. Der tages ikke hensyn til transaktionsomkostninger (kurtage).
Forenklet skattemodel. Modellen antager realisationsbeskatning. ETF’er og pensionskonti med lagerbeskatning opfører sig anderledes.
Ingen nye indskud. Kun ét startindskud.

3. Monte Carlo-simulator

Hvad den viser

Monte Carlo-simulatoren kører mange hundrede uafhængige simuleringer parallelt og viser den statistiske fordeling af mulige udfald.

Til forskel fra rebalanceringsvisualiseringen sammenligner denne komponent to strategier:

Buy & hold — ingen rebalancering (udskudt skat)
Rebalanceret — løbende rebalancering med skat på realiserede gevinster

For hver strategi vises resultatet enten som:

Spaghettidiagram — alle individuelle simuleringsstier
Vifteplot — medianen plus 10., 25., 75. og 90. percentil som farvede bånd

Nedenunder graferne vises histogrammer over fordelingen af slutværdier, samt statistiske nøgletal (10. percentil, median, 90. percentil).

Indstillinger

Indstillingerne er de samme som i rebalanceringsvisualiseringen med et par tilføjelser:

Indstilling	Standard	Hvad det er
Startkapital	100.000 kr.	Startbeløb for alle simuleringer
Aktieafkast	7 %	Forventet gennemsnitligt årligt afkast for aktier
Aktievolatilitet	18 %	Standardafvigelse på aktiers årlige afkast
Obligationsafkast	3 %	Forventet gennemsnitligt årligt afkast for obligationer
Obligationsvolatilitet	6 %	Standardafvigelse på obligationers årlige afkast
Korrelation	0	Pearson-korrelation mellem aktiers og obligationers chok
Aktieandel	60/40	Målvægt for aktier
Skattesats	27 %	Skattesats på realiserede gevinster
År	20	Simuleringshorisont
Simulationer	500	Antal uafhængige simuleringsstier
Frekvens	Hvert år	Rebalanceringsfrekvens
Afvigelsesgrænse	Ingen	Driftgrænse inden rebalancering udløses

Histogrammerne for buy & hold viser to serier:

Udskudt skat — porteføljeværdi uden at trække skat på akkumulerede gevinster (du ejer stadig dem)
Efter exitbeskatning — som om du sælger alt og betaler skat på alle gevinster ved udgangen

Matematikken bag

Simuleringerne bruger den samme GBM-model med Cholesky-korrelation som rebalanceringsvisualiseringen. Forskellen er at der køres N uafhængige simuleringer i stedet for én.

Percentilberegning

For hvert år $t$ sorteres alle $N$ simuleringsværdier, og percentilerne beregnes via lineær interpolation (samme metode som NumPys standardindstilling):

$i = \frac{p}{100} \cdot (N-1), \qquad \hat{v}_p = v_{\lfloor i \rfloor}(1-w) + v_{\lceil i \rceil}\,w, \quad w = i - \lfloor i \rfloor$

Histogrammet

Slutværdierne for alle N simuleringer opdeles i 20 ligestore intervaller (buckets) fra minimum til maximum. For at histogrammerne for de to strategier kan sammenlignes direkte, bruges de samme grænseværdier for begge — ellers ville søjlernes bredde afvige og sammenligningen blive vildledende.

Buy & hold med exitbeskatning

For buy & hold er der ingen skattebetalinger undervejs. Men to versioner vises:

Udskudt skat: porteføljeværdien er den rå markedsværdi
Exitbeskatning: skatter trækkes af på slutværdien som om alt sælges: slutværdi − (slutværdi − startkapital) × skattesats (kun hvis gevinst)

Begrænsninger

Stokastisk, ikke forudsigende. Monte Carlo-simuleringen viser en sandsynlighedsfordeling af mulige udfald — ikke en forudsigelse af fremtiden.
Uafhængige år. Modellen antager at hvert års afkast er uafhængigt af foregående år. Autokorrelation og “mean reversion” (som nogle empiriske studier antyder) er ikke modelleret.
Log-normal fordeling. Afkastfordelingen antages log-normal (tyndere haler end virkeligheden). Ekstreme begivenheder som finanskriser er underrepræsenteret.
Konstante parametre. Volatiliteten er konstant — der er ingen volatility clustering (at perioder med stor udsving efterfølges af perioder med stor udsving).
To aktivklasser. Samme begrænsning som rebalanceringsvisualiseringen.
Ingen transaktionsomkostninger.
Antal simuleringer vs. præcision. 500 simuleringer giver rimelig statistisk stabilitet til illustrationsformål, men ekstreme percentiler (fx 5. og 95.) er mere usikre end median og 10./90. percentil.

4. Optimal rebalanceringsfrekvens

Hvad den viser

Denne komponent stiller spørgsmålet: Hvilken rebalanceringsfrekvens giver det bedste resultat under dansk beskatning?

Den kører Monte Carlo-simuleringer for seks faste rebalanceringsfrekvenser og plotter median-slutværdien for hver som en linje:

X-akse label	Frekvens
Aldrig	Ingen rebalancering (buy & hold)
10 år	Rebalancering hvert 10. år
5 år	Rebalancering hvert 5. år
3 år	Rebalancering hvert 3. år
2 år	Rebalancering hvert 2. år
1 år	Rebalancering hvert år

Det punkt på linjen med den højeste median-slutværdi fremhæves med en markør og teksten “Optimal” over punktet. Under grafen vises en tekstlinje med den optimale frekvens.

Formålet er ikke at give et entydigt svar, men at illustrere hvordan skatten påvirker den optimale hyppighed: fordi rebalancering udløser beskatning af realiserede gevinster, er der en afvejning — for hyppig rebalancering koster for meget i skat, mens for sjælden rebalancering lader porteføljen drive langt fra målallokationen.

Indstillinger

Komponenten har ikke slidere til rebalanceringsfrekvens eller afvigelsesgrænse — disse er x-aksen i grafen. I stedet kan du justere alle de parametre der påvirker hvad den optimale frekvens er:

Indstilling	Standard	Hvad det er
Aktieafkast	7 %	Forventet gennemsnitligt årligt afkast for aktier
Aktievolatilitet	18 %	Standardafvigelse på aktiers årlige afkast
Obligationsafkast	3 %	Forventet gennemsnitligt årligt afkast for obligationer
Obligationsvolatilitet	6 %	Standardafvigelse på obligationers årlige afkast
Korrelation	0	Pearson-korrelation mellem aktiers og obligationers chok
År	20	Simuleringshorisont
Simulationer	300	Antal uafhængige simuleringsstier pr. frekvens
Skattesats	27 %	Skattesats på realiserede gevinster ved rebalancering
Afvigelsesgrænse	Ingen	Rebalancér kun hvis aktieandelen har driftet mere end X pp fra målet

Matematikken bag

Komponenten bruger nøjagtig den samme GBM-simuleringsmotor som Monte Carlo-simulatoren. For hver af de seks frekvenser:

Genereres N sæt tilfældige markedsbevægelser (ét sæt pr. simulation)
Alle seks frekvenser simuleres med de samme tilfældige træk
Median-slutværdien beregnes på tværs af de N simuleringer

At alle seks frekvenser deler identiske markedsbevægelser er afgørende: det sikrer at forskellen i median-slutværdi udelukkende skyldes rebalanceringsstrategien — ikke tilfældighederne.

Skat som bremseklods på hyppig rebalancering

Effekten kan forstås intuitivt: rebalancering er en form for volatility harvesting — man sælger det der er steget og køber det der er faldet, og tjener på den løbende kurssvingning. Men i et beskatningsregime med realisationsbeskatning koster hvert salg skat på gevinsten. Det reducerer kapitalbasen, som efterfølgende vokser eksponentielt. Jo hyppigere man rebalancerer, jo mere skat betaler man, og jo mindre kapital er der tilbage til at vokse.

Det optimale punkt er der, hvor den marginale gevinst fra yderligere rebalancering netop opvejes af den marginale skatteomkostning.

Begrænsninger

Median er ikke det eneste mål. Komponenten bruger median-slutværdi som kriterium. Et risikoaverst mål (fx 10. percentil) kan give et andet optimum.
Stokastisk variation. Med 300 simuleringer pr. frekvens er medianen relativt stabil, men klik “Ny simulation” for at se, hvor meget optimum kan variere mellem kørsler.
Samme begrænsninger som Monte Carlo-simulatoren i øvrigt: ingen nye indskud, konstante parametre, log-normal fordeling, to aktivklasser.

5. Rebalanceringsgevinst-simulator

Hvad den viser

Denne komponent isolerer den rene rebalanceringsgevinst ved at fjerne enhver forskel i forventet afkast mellem de to aktiver. Begge aktiver har identisk forventet afkast og identisk volatilitet — det eneste der varierer er korrelationen imellem dem.

To strategier sammenlignes:

Enkelt aktiv (buy & hold) — 100 % i ét aktiv, aldrig rebalanceret
Rebalanceret 50/50 (ingen skat) — begge aktiver i lige stor vægt, rebalanceret hvert år, uden skat

Da aktiverne er identiske, skyldes enhver forskel i resultatet udelukkende rebalanceringsmekanismen — ikke et afkastpræmie fra det ene aktiv frem for det andet.

Grafen viser viftebånd (10.–90. percentilinterval) og medianlinjer for begge strategier. Under grafen vises to nøgletal:

Teoretisk gevinst (p.a.) — beregnet direkte fra formlen $\frac{\sigma^2}{4}(1-\rho)$
Simuleret gevinst (p.a.) — det annualiserede forhold mellem de to median-slutværdier

Indstillinger

Indstilling	Standard	Interval
Aktivafkast	7 %	−5 % til 20 %
Aktivvolatilitet	20 %	5 % til 50 %
Korrelation	0	−0,9 til +0,9
År	20	5–40
Simulationer	300	100–1000

Bemærk: “Aktivafkast” og “Aktivvolatilitet” gælder begge aktiver identisk. Der er ingen separat aktie/obligations-opdeling i denne komponent.

Matematikken bag

Simuleringen bruger den samme GBM-motor med Cholesky-korrelation som de øvrige komponenter. Begge aktiver genereres med de samme parametre; deres chok kobles ved den angivne korrelation.

For enkelt-aktiv-strategien følger porteføljen blot det ene aktivs kumulative afkastfaktor. For den rebalancerede strategi bruges simulatePortfolio med stockAllocation = 0,5, rebalanceFrequency = 1 og taxRate = 0.

Den teoretiske gevinst

For to ligevægtede aktiver med identisk volatilitet $\sigma$ og korrelation $\rho$ :

Porteføljevarians: $\sigma_p^2 = \frac{\sigma^2}{2}(1+\rho)$
Enkelt-aktivvarians: $\sigma^2$
Besparelse i aritmetisk-geometrisk kløft ved rebalancering: $\frac{\sigma^2}{2} - \frac{\sigma^2}{4}(1+\rho) = \frac{\sigma^2}{4}(1-\rho)$

Den årlige rebalanceringsgevinst er derfor:

$\text{gevinst} \approx \frac{\sigma^2}{4}(1-\rho)$

Gevinsten opstår fordi den rebalancerede portefølje har lavere varians end hvert enkelt aktiv, og lavere varians giver et mindre træk på det sammensatte afkast.

Den simulerede gevinst

Den simulerede gevinst beregnes ud fra medianforløbene:

$\text{simuleret gevinst} = \left(\frac{\text{median slutværdi (rebalanceret)}}{\text{median slutværdi (enkelt aktiv)}}\right)^{1/T} - 1$

Med tilstrækkeligt mange simuleringer nærmer dette sig den teoretiske værdi.

Begrænsninger

Ingen skat. Den rebalancerede strategi forudsætter ingen skat på realiserede gevinster. På frie midler skal rebalanceringsgevinsten afvejes mod skatteomkostningen — se Rebalancering vs. dansk beskatning.
Identiske aktiver. Komponenten bruger bevidst to ens aktiver for at isolere rebalanceringseffekten. En reel portefølje har aktiver med forskelligt forventet afkast, hvilket tilføjer dynamikker der ikke fremgår her.
Kun årlig rebalancering. Rebalanceringsfrekvensen er fastlåst til én gang om året. Hyppigere eller sjældnere rebalancering ville give andre resultater.
Samme generelle begrænsninger som Monte Carlo-simulatoren: ingen nye indskud, konstante parametre, log-normal fordeling, uafhængige år.

Fælles for alle fem komponenter

Hvad de kan

Illustrere matematiske principper — renters rente, volatility harvesting, skatteeffekter
Give intuition for størrelsesordener og relative forskelle
Lade dig eksperimentere med parametre og se den umiddelbare effekt

Hvad de ikke kan

Forudsige fremtiden. Ingen finansiel model kan det.
Tage højde for din specifikke situation — kontotype, skatteforhold, investeringshorisont, risikotolerance.
Modellere alle aktivklasser. Ejendomme, guld, private equity, valuta mv. indgår ikke.
Inkludere adfærdsrisiko — den risiko at du sælger i panik under et kursfald.
Erstatte personlig rådgivning fra en finansiel rådgiver eller skatteekspert.

Tekniske detaljer

Tilfældighedsgenerator

JavaScript’s Math.random() er en pseudo-tilfældig talgenerator — ikke kryptografisk sikker, men tilstrækkelig til finansielle simuleringer til illustrationsformål.

Debouncing

For at undgå at beregne hundredvis af simuleringer for hvert slag på slideren, bruges debouncing: beregningen trigges først 300 ms efter at du har stoppet med at justere. Det giver en responsiv brugerflade uden at overbelaste browseren.

Frysning af tilfældige træk

I rebalanceringsvisualiseringen genereres de tilfældige markedsbevægelser én gang, og derefter simuleres alle fire strategier med de samme træk. Det sikrer at forskellen mellem kurverne kun skyldes strategien — ikke tilfældighederne.

I Monte Carlo-simulatoren er det samme princip brugt til sammenligningen af buy & hold og rebalancering: hvert par af simuleringer (BH og RB) bruger identiske markedsbevægelser.

I komponenten for optimal rebalanceringsfrekvens er princippet udvidet yderligere: alle seks frekvenser deler det samme sæt tilfældige træk. Det betyder at linjen i grafen er en ren funktion af rebalanceringsstrategien — ikke af tilfældighedernes sammensætning for den pågældende kørsel.

I rebalanceringsgevinst-simulatoren gælder samme princip: både enkelt-aktiv-strategien og den rebalancerede strategi bruger identiske træk for hvert simuleringsforløb. Kløften mellem de to medianlinjer kan dermed tilskrives udelukkende rebalanceringsmekanismen.